Advertencia y agradecimientos

El presente texto sigue la estela de nuestro Y Lacan lo formal izó, del que toma una serie de préstamos, continuaciones y resonancias que no se agotan en las remisiones explícitas. Debe su forma acabada, del mismo modo que el otro, al fermento intelectual generado en el EPBCN; al lento decantado de la repetición de lo diferente en incontadas conversaciones con Juan Carlos De Brasi; a la intensiva y detallada revisión del manuscrito por parte de Joan Bagaria, de la que he extraído varias precisiones imprescindibles; a la paciente y exhaustiva revisión del texto realizada por Pilar del Rey; y a los comentarios y sugerencias de Enric Boada, Norma Cirulli, Silvina Fernández, María del Mar Martín, Fabián Ortiz y Olga Palomino. Vaya para todos ellos mi más sincero agradecimiento.

1. «El» teorema de Gödel en «La obra clara»

En su libro La obra clara, Jean-Claude Milner analiza la obra de Lacan, y la estructura en un doctrinal de ciencia, dos clasicismos y una desconstrucción. Al principio de la tercera parte, titulada El segundo clasicismo lacaniano, encontramos [p. 124] la siguiente frase: «El primer clasicismo necesita de la lógica matemática: de su existencia general y de algunas de sus proposiciones particulares (por ejemplo, el teorema de Gödel)».

Esto es muy llamativo: que una variante de la teoría psicoanalítica «necesite [...] del teorema de Gödel».

Primero, por la referencia^[1] a «el teorema» de Gödel, como si únicamente existiese uno. Sólo de incompletitud hay dos: aquél al que parece referirse aquí el autor, conocido como el «primer teorema de incompletitud de Gödel», y otro, el llamado «segundo teorema», igualmente importante y, en la práctica, utilizado más a menudo en los desarrollos lógico-matemáticos, que es consecuencia del primero, y que afirma^[2] que ninguna teoría formal suficientemente fuerte y que cumpla determinadas condiciones es capaz de demostrar su propia consistencia.

Segundo, y esto es esencial y será examinado en detalle más adelante, porque el mencionado teorema puede aplicarse exclusivamente a determinadas teorías formales, y el psicoanálisis no es una teoría formal, ni ha sido formalizado por Lacan, ni está en proceso de formalización.^[3]

Si rastreamos más referencias al teorema de Gödel en La obra clara, encontramos lo siguiente (p. 139):

Sumando estos préstamos y reduciéndolos a su carácter común, se obtiene la definición de la matemática como ciencia de lo real, en tanto que lo real nombra la función de lo imposible (S. XX, pág. 158). Muy evidentemente, el teorema de Gödel será citado a menudo al respecto, pero se observará que Lacan no hace de él un uso original. Se limita a vincularle lo que cualquier persona educada lee en él: la demostración rigurosa de que existen proposiciones indecidibles en aritmética.

Podríamos detenernos en la afirmación de que «se obtiene» la «definición» nada menos que de «la matemática», o en la de que «la matemática» sea una «ciencia de lo real, en tanto que lo real nombra la función de lo imposible», o bien en el hecho de que lo que sigue en el texto resulte para el autor de un modo «muy evidente»; pero preferimos centrarnos en la aseveración de que Lacan «se limita a vincular [al teorema de Gödel] lo que cualquier persona educada lee en él: la demostración rigurosa de que existen proposiciones indecidibles en aritmética», ya que «no hace de él un uso original».

2. «Cualquier persona educada»

En primer lugar, examinaremos la expresión «cualquier persona educada». Para ello, necesitaremos enunciar antes de modo explícito una forma moderna^[4] del teorema de Gödel.^[5]

Terorema 2.1 (Primer teorema de incompletitud de Gödel). Sea T una teoría recursivamente enumerable que contenga a PA (en realidad, con que contenga a R₀ es suficiente). Entonces existe una sentencia θ tal que si T es consistente, entonces T ⊬ θ y si T satisface ciertas hipótesis adicionales, entonces T ⊬ ¬ θ.

Aclaraciones. La «hipótesis adicional» es que la teoría T sea ω-consistente; PA es la teoría conocida como la Aritmética de Peano; R₀ es una variante de la teoría R de Robinson; ⊢ (que aparece negado en el teorema) es el operador de deducibilidad.

El lector estará haciéndose las mismas preguntas que nosotros: ¿«Cualquier persona educada» tiene la capacidad de «leer» en el teorema de Gödel algo más que un galimatías sin sentido (exceptuando, claro está, si tiene una fuerte formación específica en Lógica Matemática)? ¿Realmente «cualquier persona educada» comprende los términos (que no lo olvidemos, son técnicos) «teoría», «recursivamente enumerable», «sentencia», «consistente», «ω-consistente», «deducibilidad»? ¿«Cualquier persona educada» está familiarizada con «la Aritmética de Peano», «la teoría R de Robinson» y su variante R₀?

Lo que uno se pregunta, con toda razón, es qué definición de «persona educada» tiene en mente Milner cuando escribe lo que escribe. Puesto que si las «personas educadas» son las que tienen que comprender (comprender bien, no lo olvidemos: las Matemáticas, y en especial, la Lógica Matemática, no están hechas para comprenderlas «un poco», o «parcialmente», o «más o menos») lo anterior, entonces la inmensa mayoría de los universitarios, incluyendo a casi todos los hombres de ciencia y a un porcentaje altísimo de premios Nobel, no son «personas educadas»; no digamos ya el pobre y amedrentado lector.

En particular, alguien que usa incorrectamente el teorema de Gödel con seguridad no lo comprende como debiera, y de ese modo, y siempre para Milner, si alguien usa incorrectamente el teorema no es una «persona educada». Lacan, desde luego, aparece como una «persona educada», pero no sabemos si el conjunto de las «personas educadas» tiene más elementos. Intentemos poner a prueba la noción de «persona educada» mediante el examen de un caso, por ejemplo, el de Sir Roger Penrose, físico-matemático y filósofo inglés autor de los famosos libros The Emperor's New Mind y Shadows of the Mind.^[6]

¿Es Roger Penrose «una persona educada»? Parece que no, puesto que usa incorrectamente el teorema de Gödel. Me baso para decir esto en una obra de Torkel Franzén, de la sueca Luleå University of Technology, titulada Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to Its Use and Abuse («El teorema de Gödel: una guía incompleta a su uso y abuso»), en la que da un repaso a una serie de errores cometidos en el uso del teorema, no sólo por el señor Penrose (p. 119), sino también por toda una serie de otros autores, que resultaría tedioso listar por completo, pero que incluyen a Rudy Rucker en su divulgativo Infinity and the Mind (p. 115), y a Freeman Dyson en sus comentarios sobre la inexhaustibilidad de la ciencia como oposición a la posibilidad de la existencia de una Teoría del Todo (p. 87; TOE: Theory of Everything) en la Física teórica.

3. «Un uso original»

Nos resulta francamente difícil creer que Penrose no sea «una persona educada». En el sentido habitual del término, Penrose es claramente no sólo una persona educada, sino una persona educadísima, mucho más que la gran mayoría de la población, incluso que la gran mayoría de los universitarios: es un científico brillante y un divulgador de éxito, y más allá de que a uno le convenzan o no los argumentos expuestos en sus libros, con toda claridad pensar que no es educado es de todo punto excesivo. Nos encontramos pues con que no sabemos bien qué significación asignar a la expresión «una persona educada» en el texto de Milner.

Quizá en algún otro fragmento de las frases que estamos trabajando se nos ofrezca alguna aclaración. Justo antes de la ocurrencia de la expresión «una persona educada» se enuncia que Lacan no hace del teorema de Gödel «un uso original». Ahora bien: ¿qué es, exactamente, hacer «un uso original» del teorema de Gödel? No lo sabemos, pero lo que sí que sabemos positivamente es qué es hacer un uso erróneo del teorema: usarlo para lo que no sirve, por ejemplo por no haber entendido bien a qué ámbito se circunscribe. Es el caso de Penrose, todos los demás autores citados por Franzén, y muchos otros que no aparecen en ese libro. En la contratapa del libro de Franzén hay un comentario de Solomon Feferman, de la Universidad de Stanford, editor (en el sentido inglés de la palabra) de las obras completas de Kurt Gödel y coautor de Alfred Tarski: Life and Logic, muy elogioso, y que reproducimos aquí^[7] porque describe muy bien aquello de lo que estamos hablando:

Esta exposición única de los maravillosos teoremas de incompletitud de Kurt Gödel para el gran público consigue hacer lo que ninguna otra ha conseguido: explicar de un modo claro y completo tan sólo lo que los teoremas realmente dicen e implican, y corregir sus diversas aplicaciones erróneas a la filosofía, psicología, física, teología, crítica postmodernista y similares.

Nos interesa especialmente lo de las «aplicaciones erróneas». Por lo visto, es algo que sucede con frecuencia entre aquellos que, teniendo un poco de preparación sobre el tema, no tienen la suficiente, e intentan obtener del teorema rendimientos, a menudo filosóficos, que no es lícito exigirle. Probablemente sea lo que le sucede a Milner.

Pero no nos apresuremos; supongamos más bien, aunque sea durante un ratito más, que la noción de «persona educada» que maneja Milner es consistente. Esto nos permitirá hacernos la siguiente pregunta:

4. ¿Es el propio Milner «una persona educada»?

Intentemos dilucidarlo. Milner (que, dicho sea de paso, es lingüista y filósofo, no matemático o lógico) piensa que en el teorema de Gödel se lee «la demostración rigurosa de que existen proposiciones indecidibles en aritmética». Se lo está atribuyendo a Lacan, pero es lo que él escribe, y por tanto lo que él piensa.

La expresión «se lee» puede resultar extraña a los no iniciados. Parecería remitir de entrada a una operación de lectura, del tipo «X lee A en B», pero aquí está usada de un modo banal, como si al presentarnos la cuenta del bar por cinco euros «leyésemos en ella» que debemos pagar cinco euros. Omitamos pues ese fragmento de jerga, y prosigamos.

Lo primero que salta a la vista es una confusión entre el teorema y su demostración: el teorema es un enunciado (técnicamente, una sentencia), y demostraciones de un mismo teorema puede haber muchas y distintas. Leer en un teorema su demostración es imposible, a menos que por «el teorema» nos estemos refiriendo al artículo donde se enuncia y demuestra este último, que es lo que parece estar haciendo Milner.

Lo siguiente que nos llama la atención es el calificativo de «rigurosa», pues no sabemos si se refiere a) a una evaluación que el señor Milner habría hecho del rigor o de su posible falta en la demostración que Gödel hace de su teorema (para lo cual es arriesgado suponerle la preparación necesaria, ya que se trata de una demostración muy técnica y compleja, además de requerir un esfuerzo en el manejo de una notación antigua), o b) a la posibilidad de que piense (nos referimos al propio Milner) que existen varias clases de «demostraciones», entre las cuales algunas serían «rigurosas» y otras no. Como la segunda posibilidad es una tontería, ya que en Matemáticas las demostraciones siempre son rigurosas, y si no no son demostraciones, debemos concluir que Milner piensa que posee suficiente calificación para juzgar la calidad de la demostración de Gödel. Por tanto, y a fortiori, su comprensión del teorema de Gödel debe de ser absolutamente sin tacha.

¿Qué demuestra el teorema, según el señor Milner? Que «existen proposiciones indecidibles en aritmética». Pero esto, dicho sin matizar, es directamente erróneo.

En primer lugar, porque hay teorías aritméticas en las que no existen proposiciones indecidibles, por ejemplo la llamada aritmética verdadera,^[8] una teoría completa, la que intuitivamente creen estar utilizando la mayoría de los matemáticos,^[9] y que además es capaz de demostrar su propia consistencia,^[10] con lo que tampoco se le aplica el segundo teorema de incompletitud de Gödel.

En segundo lugar, porque el teorema de Gödel se refiere a determinadas teorías formales (en el sentido lógico-matemático del término). Entre esas teorías hay algunas, como por ejemplo la llamada «aritmética de Pressburger», que son decidibles (es decir, para ellas el enunciado que propone el señor Milner es falso), y otras que no lo son (por ejemplo, la conocida como «aritmética de Peano», para la que el enunciado del señor Milner es verdadero).

En tercer y último lugar, porque no se especifica qué tipo de lógica se está usando, y lógicas hay muchas. Los matemáticos «normales» (nos referimos a aquellos que no están interesados en cuestiones de Fundamentos) ni siquiera tienen una consciencia clara de con qué lógica o con qué axiomas están trabajando: usan más bien su «sentido común matemático»;^[11] pero según el tipo de lógica que se utiliza, cambia la misma naturaleza de la realidad matemática que se está estudiando^[12] (lo que técnicamente se denominan «los modelos»). Por ejemplo, para las teorías de primer orden, siempre se pueden encontrar modelos no estándar de los números naturales,^[13] mientras que la teoría de la aritmética de Peano de segundo orden es categórica^[14] (es decir, no admite más que un modelo, salvo isomorfismo^[15]). Traemos este ejemplo para aclarar que no hay ninguna substancia última, ni ninguna cosa del mundo (y, por tanto, tampoco ninguna cosa del psicoanálisis), a la que «la Lógica» se refiera de un modo natural, y por tanto no hay justificación alguna en los argumentos ontologizantes con que se quiere hacer pasar que el teorema de Gödel podría referirse «al lenguaje», o «al discurso mismo», o a cualquier otro de los pretendidos objetos de estudio del psicoanálisis.

5. De un terror insidioso

¡Ahora resulta que el señor Milner no es «una persona educada»! En realidad, nos alivia mucho saberlo; nos hubiese costado renunciar a nuestra intuición de que Penrose y muchos otros de los autores citados eran, después de todo, «personas educadas». Igual que casi todos los universitarios del mundo. Igual que nosotros. Igual que el atribulado lector.

Pero, un momento; quizá, ya que Milner no parece saber muy bien de qué habla,^[16] y sin embargo dice lo que dice, el efecto que se buscaba era ese: que uno no se sintiese «una persona educada».

Incluso el que escribe este texto habría quedado intimidado por la frase de Milner, si no fuera porque, «por un dichoso azar»,^[17] es licenciado en Matemáticas. No queremos ni imaginar el sutil e insidioso efecto de puro terror que se producirá en el lector medio, y ya no digamos en el psicoanalista medio, que suele ser psicólogo, es decir, por mucho que insistan, pobrecitos, en machacarlos con la Estadística,^[18] de letras.

6. «Un dichoso azar»

Dejemos ahora por un instante a las «personas educadas», y volvamos nuestra atención sobre otro libro de la órbita lacaniana. Se titula precisamente Lacaniana II, está dirigido por Moustafa Safouan, y ya nos hemos referido a él en otro lugar. En la página 219, y refiriéndose al Seminario «...o peor», Dominique Simonney escribe:

Φ representa la función fálica. Un dichoso azar quiso que Frege utilizara esta misma letra para definir su función proposicional.

Uno se queda un poco estupefacto ante el «azar» (que aquí está utilizado en el sentido coloquial de «casualidad»), y no termina de comprender la «dicha» que embarga al autor. Vamos a ver: el libro dirigido por Safouan fue publicado (en español) en 2008; el Seminario XIX, «...ou pire» de Lacan, es de los años 1971-72; Lacan comienza su Seminario en 1951, aunque por razones no del todo claras su albacea literario decidió publicarlos sólo a partir de 1953. Y Frege... nace en 1848 y muere en 1925.^[19] Por tanto, es imposible que «Frege utilizara [la] misma letra [que Lacan]»; en todo caso, sería Lacan el que utilizó la misma letra que Frege.

No tendríamos el menor interés en resaltar lo que no sería más que un burdo error si no fuese porque se trata más bien del exponente de una tendencia. Traigamos a la luz sólo un ejemplo más: ya hemos señalado en otro lugar que Lacan mismo atribuye al «buen azar»^[20] que los símbolos ⟨ y ⟩^[21] «[son] las dos partes de [su] rombo cuando se juntan». Otra vez el mismo error: la notación ⟨ a,b ⟩ para el par ordenado precede a la introducción del «punzón» lacaniano ◊, y por tanto, en todo caso, sería el «punzón» el que «es» los dos símbolos ⟨ y ⟩ cuando se parte.

Todo esto nos suena como si un paciente nos contase que «por un buen azar», su padre se parece a él, y más tarde que «por un dichoso azar», su padre lleva el mismo apellido que él. Freud habla en algún lugar de la fantasía de ser su propio padre; aquí encontramos algo todavía más atrevido: ser el padre del padre que se aspira a tener.

Está claro que Lacan tenía una multitud de seguidores a los que entretener, y el error puede disculparse por ser algo dicho en caliente (y en un ámbito relativamente privado, no lo olvidemos, aunque después él mismo haya alentado su publicación). Lo que no se entiende tanto es que todo esto se repita una y otra vez, a veces literalmente, a veces en estructura, como es el caso en el «dichoso azar» de Simonney, como si fuese nada menos que la doctrina^[22] psicoanalítica.

7. Secretos familiares

Ya hemos dejado bastante claro qué opinión nos merecen las expresiones como «cualquier persona educada» desde un punto de vista ético. Desde un punto de vista político, se discierne con claridad el establecimiento progresivo y minucioso de una pseudo-élite de «personas educadas». Se citan y se sostienen todos entre ellos,^[23] y repiten tanto y tan machaconamente las mismas inexactitudes, cuando no las mismas tonterías, que ya no se sabe bien si de puro repetirlas han terminado por creérselas ellos mismos. Desde el punto de vista presentado aquí, son unos refinados artistas de las imposturas intelectuales.^[24] En cualquier caso, esto no pasaría de ser más que el pretendidamente exquisito repertorio de juegos de una suerte de más bien inofensivo club de chalados, si no fuese porque mucha gente ajena a su círculo y generalmente mal informada les cree, y a pies juntillas para decirlo todo, los lee y los estudia, hasta se escriben doctorados y se cursan materias universitarias^[25] sobre estos temas; y ahí viene la dimensión sintomática de todo esto. Lo reprimido, el secreto familiar («Mira, hijo, te tenemos que confesar una cosa, Lacan no era hijo^[26] de Frege; es más: Frege no es de nuestra familia», y así sucesivamente) se traslada al psicoanalista medio, que termina escribiendo de buena fe y con total desconocimiento de causa sandeces^[27] como lo del «dichoso azar».

De este modo se ha estropeado la cabeza a toda una generación de analistas, y simultáneamente se ha espantado, es cada vez más necesario decirlo, a las auténticas «personas educadas», que ante este cúmulo de horrores huyen de «el psicoanálisis» como de la peste.

 Barcelona, marzo-abril de 2013

Notas

¹ Repetida: vid. infra. ↩
² Para el segundo teorema, véase por ejemplo el teorema 9 en la p. 614 de Kurt Gödel, On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I, en la recopilación From Frege to Gödel, editada por Jean van Heijenoort, Harvard University Press, 1967. ↩
³ Para este tema, se consultará nuestro trabajo Y Lacan lo formal izó, presentado en estas mismas Jornadas. ↩
⁴ El teorema original (que se encuentra en el artículo antes citado de Gödel, está formulado en términos de la notación empleada en los Principia Mathematica de Whitehead y Russell, que ya no está en vigor. ↩
⁵ Traduzco de inglés los apuntes distribuidos por Joan Bagaria (ICREA, Universitat de Barcelona) para la asignatura Fundamentals of Mathematical Logic (A graduate course, 2004-2005), que cursé en el marco del programa de doctorado sobre Lógica y Fundamentos de las Matemáticas impartido en el Departamento de Lógica, Historia y Filosofía de la Ciencia en la Facultad de Filosofía de la Universidad de Barcelona. Las aclaraciones son propias. ↩
⁶ El señor Penrose es Emeritus Rouse Ball Professor of Mathematics en el Mathematical Institute de la Universidad de Oxford, además de Emeritus Fellow del Wadham College, e internacionalmente reconocido por sus trabajos científicos en Física Matemática, en particular por sus contribuciones a la Relatividad General y a la Cosmología. [Parafraseo y traducción propios de https://en.wikipedia.org/wiki/Roger_Penrose] ↩
⁷ Traducción libre del original, que reproducimos a continuación: «This unique exposition of Kurt Gödel's stunning incompleteness theorems for a general audience manages to do what none other has accomplished: explain clearly and thoroughly just what the theorems really say and imply and correct their diverse misapplications to philosophy, psychology, physics, theology, post-modernist criticism and what have you». ↩
⁸ True arithmetic, ver https://en.wikipedia.org/wiki/True_arithmetic. ↩
⁹ Gran parte de los estudiantes de Matemáticas ignoran la existencia de proposiciones indecidibles, a menos que tengan una formación específica en Lógica y Fundamentos de las Matemáticas. Para la aritmética verdadera, nos permitiremos remitir también al lector a la página 8 de nuestro trabajo de doctorado Modelos no estándar de la Aritmética de Peano, presentado en 2006. ↩
¹⁰ Consúltese por ejemplo «True» Arithmetic Can Prove Its Own Consistency, de Andrew Boucher. ↩
¹¹ Ese sentido común estaría a su vez contenido en la lógica de primer orden combinada con un fragmento de ZFC, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fränkel con elección (en términos generales es suficiente con los axiomas o esquemas de axioma de extensionalidad, par, unión, potencia, infinitud, separación y elección), pero este punto de vista abre a su vez una serie de nuevos problemas: véase por ejemplo el artículo de Paul Benacerraf What numbers could not be (Philosophical Review 74 (1):47-73 (1965) ). ↩
¹² Quine hizo famosa la frase de que las lógicas de órdenes superiores (segundo, tercero, etcétera) son set theory in disguise. Desde este punto de vista, lo que determina la naturaleza de la realidad matemática es la teoría de conjuntos subyacente, es decir, los axiomas de existencia que se están utilizando. En términos de la jerarquía iterativa, la teoría de segundo orden de V_k es equivalente a la teoría de primer orden de V_k-1, la de tercer orden de V_k a la de primer orden de V_k+2, y así sucesivamente. ↩
¹³ Incluso para la aritmética verdadera. Para esto, véase mi Modelos no estándar, op. cit. ↩
¹⁴ Consúltese por ejemplo Stewart Shapiro, Foundations without Foundationalism. A Case for Second-Order Logic, Oxford University Press, p. 82. La demostración original es de Dedekind. ↩
¹⁵ Para ser más precisos: la estructura de los números naturales queda unívocamente descrita por los axiomas de Peano de segundo orden, salvo isomorfismo, pero para una determinada interpretación de los cuantificadores de segundo orden, es decir, del conjunto P(N). ↩
¹⁶ Dejemos aquí de lado el examen de si Lacan mismo sabe de qué habla. ↩
¹⁷ Las comillas remiten a un guiño, al que no hemos podido resistirnos, y que se comprenderá enseguida. ↩
¹⁸ Al menos en España. En otras latitudes se los machaca con «la formalización lacaniana» y, claro, no se sabe bien qué es más grave. ↩
¹⁹ Es fácil saberlo: está en la Wikipedia. Lleva muchos años muerto. ↩
²⁰ En este caso no es «dichoso», sino «bueno»; en cualquier caso, se constata que el azar siempre les sonríe, lo que no deja de resultar curioso. ↩
²¹ Que Lacan confunde con < y >, pero esto no tiene importancia ahora. ↩
²² Término que cada día leemos más a menudo, y que a Freud le hubiese horrorizado: siempre insistió en que el psicoanálisis no era una cosmovisión, ya no digamos una religión. ↩
²³ Dos muestras: las menciones con las que encabezamos este trabajo, y la cita de Žižek sobre Lacan referenciada en Y Lacan lo formal izó. ↩
²⁴ Otra vez Sokal y Bricmont. ↩
²⁵ Nos informan de que en la Universidad Nacional de Rosario estudian nada menos que a Vappereau. Uno no puede menos que pensar: «¡pobre gente!». ↩
²⁶ Intelectual, se entiende. ↩
²⁷ Esta vez el término está bien usado. Ver nuestro Y Lacan lo formal izó. ↩